A matemática é uma só

   A Matemática sempre me fascinou. No começo eu nem me preocupava com sua utilidade. O que eu gostava mesmo era de mexer com os números e chegar a um resultado que ninguém no mundo poderia dizer que estava errado. Mas para apresentar gosto pela nobre ciência, ou ao menos considerá-la útil no dia-a-dia, não é necessário passar horas a fio na frente de problemas complexos sem saber se um dia você conseguirá desvendá-los ou utilizá-los, afinal, como a própria história nos mostra, a matemática surgiu com a necessidade prática. Tentarei, nos próximos parágrafos, mostrar o quão presente a matemática está na nossa vida, de modo a provar que não é necessário ser um gênio louco ou um professor, para se beneficiar com o estudo da matemática.

   Pulando a parte de contar carneiros com pedras, a matemática começou a se desenvolver nos séc. IX e VIII a.C. na Babilônia. Os babilônicos e os egípcios usavam da matemática para resolver problemas práticos, desenvolvendo a álgebra e a geometria. Apenas a partir dos séc. VI e V a. C., na Grécia, é que se pode encarar a matemática como ciência, uma vez que os gregos estudaram problemas com processos infinitos, movimento e continuidade, resolvendo questões sem se preocuparem com suas aplicações práticas.

   Possivelmente 95% dos alunos dos ensinos fundamental e médio, estudam a matemática com desprezo e irritação, por vezes soltando frases do tipo: “pra que droga é que isto serve?”, “pra que é que eu quero saber que o logaritmo de 2 na base 10 é 0,301?”, “em que isso vai mudar a minha vida?”. Mas não precisamos pensar muito para desmentir todas essas injustiças. A matemática está em todos os lugares! E indo um pouco além: Não interessa que ramo de vida se escolha tomar – a matemática lhe perseguirá, sendo que ninguém está totalmente livre dessa ciência, pois como dizem por aí, a tendência é de que todas as ciências se matematicalizem, afinal “todas as coisas são números” (Pitágoras).

   Depois das operações básicas (soma, subtração, multiplicação e divisão) uma das primeiras coisas que o aluno tem contato são os Conjuntos. É sabido que muita gente limita sua visão dos conjuntos aos diagramas de Venn (aqueles círculos), mas vamos reparar num exemplo bem próximo: A tabela de classificação do campeonato brasileiro. Dividido num grande conjunto de 20 times, temos subconjuntos tais como os 4 que se classificam para a libertadores, a zona de rebaixamento, os que vão para a sul-americana, etc. Bem simples imaginar relações de pertinência, união, igualdade, existência (o Vasco, por exemplo, não existe na série A), etc. Um outro exemplo, desta vez utilizando os benditos diagramas de Venn, é fazer um quadro com os tipos sanguíneos utilizando como fatores de diferenciação os antígenos do sangue (A, B e Rh).

Alunos da escola Antônio Bahia

Alunos da escola Antônio Bahia

O tempo e a velocidade

O tempo e a velocidade

    Podemos marcar o tempo consultando o relógio de ponteiros ou digital um calendário, impressora ou eletrônica. Nos últimos anos com o uso de computadores pode se prever em fenômenos climáticos com alguma certeza para saber se vai chover ou fazer sol nos próximos dias.

    Mas houve época em que os relógios não existiam, a posição do sol, a aparência da lua ou mesmo uma vela queimada ou uma ampulheta serviam como meio para o homem marcar e controlar o tempo e fazer alguma previsão. Hoje também podemos planejar nossos horários e trajetos, pois é possível nos locomover de maneira muito rápida, utilizando meios de transporte (ônibus, automóvel, bicicleta, barco, trem u avião) que aproximam dois bairros, duas cidades ou países.

   Graças ao desenvolvimento tecnológico e à engenharia atualmente, as distâncias podem ser rapidamente percorridas. No passado o homem se deslocou entre grandes distâncias caminhando ou montando em um cavalo ou camelo ou conduzindo embarcações lentas empurradas pelo vento.

    A tecnologia moderna permite que um jato ocorrido no Japão no mesmo instante, seja conhecido em diferentes pontos do planeta. Isto porque podemos comunicar instantaneamente, usando satélites telefones ou internet as informações e mensagens já foram transmitidas no passado na forma anal ou escritas por vários meios: ‘’ no boca-a-boca “por mensageiros a cavalo, pombo correio, telegrafo sem fio a cabo etc.”.

    No passado ou no presente a matemática junto com outras ciências (física, astronomia, química, etc) ajusta o homem a encontrar novas soluções para seus desafios sejam a comunicação de estradas pontes embarcações, aviões, foguetes, satélites ou ainda a melhoria de condições básicas  de cidadania que excluam a saúde a educação a moradia entre outros aspectos.

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Como são geradas as nossas idéias e conhecimentos Matemáticos

       As pessoas utilizam constantemente a matemática com muita regularidade na vida diária.  Muitas dessas pessoas nunca cursaram ou nunca tiveram uma frequência regular na escola.  Por exemplo, no Brasil, existe a necessidade de se construir os “barracos” que são as casas encontradas em nossas famosas favelas, pois muitas destas famílias possuem baixo orçamento e têm necessidade de construir as próprias residências.  Porém, para construir esses barracos, as pessoas que são consideradas “matematicamente analfabetas” utilizam noções de geométricas de área, de proporções e outros conceitos matemáticos.

     Algumas vezes, o conhecimento matemático informal utilizado por essas pessoas pode conter idéias e práticas matemáticas sofisticadas.  Nesta perspectiva, uma simples brincadeira de criança como construir papagaios, jogar bolinhas de gude ou pular amarelinha, também envolve idéias e conceitos matemáticos de geometria, propriedades geométricas, medidas, noções de ângulos e polígonos, que são utilizadas por elas de modo informal e inconsciente (Borba, 1987; Zaslavsky, 1998).

    Neste contexto, a matemática representa uma forma muito diferente de cultura que se origina quando indivíduos, que pertencem a diferentes grupos culturais, trabalham com quantidades, medidas, formas, classificações, operações, modelos e relações geométricas (D’Ambrosio, 1993).  Esta raíz cultural da matemática consiste no inter-relacionamento entre os padrões, os conceitos e os símbolos que relacionam as idéias e as práticas matemáticas que são geradas, acumuladas e transmitidas de geração em geração, com o objetivo de solucionar problemas que estão relacionados com o ambiente sócio, político, cultural, social e ambiental nos quais os grupos sociais agem e interagem (D’Ambrosio, 2001).

    Estas características são historicamente identificadas como “matemática ocidental” ou “western mathematics” (D’Ambrosio, 1990), pois elas representam formas únicas de pensamento, raciocínio ou lógica de um ”fazer” matemático que se alastrou mundialmente após as grandes navegações européias realizadas no século XVI.  Porém, essas características também são encontradas nas práticas matemáticas desenvolvidas por indivíduos de diferentes grupos culturais.

      Assim, os autores deste artigo preferem utilizar  o conceito de antropologia cultural definido por Hall (1989), no qual, as maneiras singulares de resolver os problemas que estão relacionados às necessidades específicas de cada grupo cultural não podem ser consideradas melhores nem piores do que qualquer outra forma utilizada por outros grupos culturais em outros contextos sociais.  Nesta perspectiva, cada grupo cultural procura solucionar as situações-problemas, enfrentadas diariamente, adaptando-as ao próprio ambiente para uma melhor compreensão e entendimento dos fenômenos sociais, políticos, naturais e ambientais que ocorrem nestes ambientes, na busca pacífica da convivência social. 

      De acordo com D’Ambrosio (1990), as conexões entre essas características representam o sistema cultural de cada grupo.  Assim, a recusa e o desrespeito da identidade individual de cada cultura coloca todo o processo de entendimento e compreensão desses sistemas culturais em risco (D’Ambrosio, 1990).

Contextos culturais

Alguns grupos culturais desenvolveram maneiras particulares e interessantes para encontrar as soluções para os problemas que se apresentavam no cotidiano.  O estudo de diferentes algoritmos e práticas matemáticas, baseado na perspectiva etnomatemática, torna-se relevante para a compreensão das idéias, dos conceitos e das propriedades matemáticas que estão envolvidas nesses mecanismos. 

O entendimento das práticas matemáticas desenvolvidas por diferentes grupos culturais auxilia na compreensão da evolução do pensamento matemático de uma determinada cultura.  Assim, a ênfase desta investigação está direcionada para o aspecto retórico da resolução de problemas relacionados com a área de figuras retangulares e, que foi amplamente utilizada pelos babilônios, na antigüidade.

As Práticas Matemáticas Babilônias

    As primeiras práticas matemáticas surgiram na Babilônia por volta do ano 3000 a.C. quando os babilônios desenvolveram o sistema de numeração de base sexagesimal.  Entre 2400 a.C. e 2200 a.C., eles continuaram desenvolvendo as idéias matemáticas e construíram as primeiras tabelas de multiplicação e divisão.  Porém, a matemática babilônia somente floreceu, por volta do ano 1900 a.C., com o desenvolvimento dos pensamentos algébrico e geométrico.  Assim, o excelente sistema de numeração que os babilônios possuíam e as regras que eles utilizavam para resolver os problemas aritméticos, os conduziram a um começo significativo da álgebra.

    O desenvolvimento e a evolução das idéias algébricas babilônias permitiram que eles resolvessem equações lineares e quadráticas, trabalhassem com números positivos, com sistemas de duas equações com duas variáveis e com algumas equações de graus mais elevados (Joseph, 2000).  Apesar de reconhecerem somente os números racionais positivos, eles também resolveram problemas que não possuíam soluções racionais.

    Os babilônios utilizavam cunhas para escrever os problemas matemáticos em tábuas de argila cozida.  Os caracteres que eles desenvolveram, neste tipo de escrita, ficaram conhecidos como cuneiformes.

A linguagem matemática

   A propósito da Matemática é comum ouvirmos termos e expressões como as que se seguem: "a matemática é uma linguagem abstrata", "a linguagem da matemática é de difícil compreensão aos alunos", "a linguagem da matemática é precisa e rigorosa". Sendo a matemática uma área do saber de enorme riqueza, é natural que seja pródiga em inúmeras facetas; uma delas é, precisamente, ser possuidora de uma linguagem própria, que em alguns casos e em certos momentos históricos se confundiu com a própria matemática. Se atendermos à conceptualização que apresentámos para linguagem, facilmente admitimos esta particularidade na matemática. Na realidade, estamos perante um meio de comunicação possuidor de um código próprio, com uma gramática e que é utilizado por uma certa comunidade. Esta linguagem tem registos orais e escritos e, como qualquer linguagem, apresenta diversos níveis de elaboração, consoante a competência dos interlocutores: a linguagem matemática utilizada pelos "matemáticos profissionais", por traduzir ideias de alto nível, é mais exigente do que a linguagem utilizada para traduzir ideias numa aula. Da mesma forma, a linguagem natural assume registos de complexidade diferente dependendo da competência dos falantes. A comparação que fazemos entre a linguagem natural e a linguagem da Matemática, em que apontámos similitudes, apresenta, como é fácil de adivinhar, diferenças marcantes. Desde logo, porque a linguagem matemática não se aprende a falar em casa, desde tenra idade – aprende-se, isso sim, a utilizar na escola. A aprendizagem da matemática apresenta, também, diferenças quando comparada com a aprendizagem de uma segunda língua natural – que habitualmente também ocorre numa escola – pois não encontramos, no dia-a-dia, um grupo de falantes que a utilize, em exclusividade, para comunicar. A linguagem da matemática carece pois do complemento de uma linguagem natural.

   Alguns autores defendem que a linguagem matemática assume diversas componentes: linguagem escrita, linguagem oral e linguagem pictórica (Usiskin, 1996). Na verdade, a linguagem matemática dispõe de um conjunto de símbolos próprios, codificados, e que se relacionam segundo determinadas regras, que supostamente são comuns a uma certa comunidade e que as utiliza para comunicar. Porque os falantes são dotados da capacidade de falar, a linguagem da matemática dispõe de um registro oral e, assim, podemos falar de uma linguagem matemática oral. Esta linguagem utiliza a língua natural como língua suporte. Embora com diferenças, a linguagem escrita da matemática tem um carácter mais universalizante do que a linguagem oral. Usiskin (1996) sustenta que a matemática possui também uma forma de expressão pictórica, através, por exemplo, de gráficos, diagramas, barras de Cuisenaire ou desenhos.

   A aprendizagem da linguagem da matemática nas nossas aulas tem passado por diversas fases, tendo-se, nalgumas delas, concedido um destaque excessivo, a ponto de se ter privilegiado as questões puramente formais em detrimento das questões de conteúdo. A aprendizagem de um meio de comunicação deve estar subordinada ao ato de comunicar, ou seja, a aprendizagem de um código e das suas regras de funcionamento não deve, nem pode, ser desconectada do que pretende ser comunicado.

LINGUAGEM DA AULA DE MATEMÁTICA

   Tal como já defendemos, os atos de ensinar e aprender são na sua essência atos de comunicação. A presença da linguagem numa sala de aula é verdadeiramente avassaladora, sendo que será bastante difícil "olhar para a aula de Matemática" sem atentarmos na linguagem dessa mesma aula, através da análise do discurso e da análise de conteúdo. A linguagem da matemática é híbrida, pois resulta do cruzamento da linguagem da matemática com uma linguagem natural, no nosso caso, o português.

   As práticas dos professores têm uma forte componente de linguagem. Estas práticas estão muitas vezes embebidas das visões e dos valores dos professores, de entre outras, sobre o lugar da linguagem e da comunicação no ensino e na aprendizagem da matemática. A linguagem da aula de matemática, além das concepções dos professores, é influenciada por outros fatores, como sejam as aprendizagens anteriores dos alunos, o nível sócio-cultural e a formação de professores.

   Na aula, professor e alunos desempenham papéis diferenciados, para os quais contribuem formas de agir deliberadas, que variam consoante o modelo de ensino/aprendizagem preferido. As tarefas propostas influenciam e são influenciadas pela linguagem da aula.

   A avaliação, pela sua importância, merece-nos uma referência particular. A linguagem é central no processo avaliativo, tanto na vertente escrita como na vertente oral.

   Embora conscientes da estreita ligação entre as ações dos interlocutores, as tarefas propostas e a avaliação, por uma questão de clareza de texto, optámos por as separar.

A contribuição da matemática na produção tecnológica

A tecnologia, entendida como a convergência do saber [ciência] e do fazer [técnica], e a matemática são intrínsecas à busca solidária de sobreviver e de transcender. A geração do conhecimento matemático não pode, portanto, ser dissociada da tecnologia disponível. Os primeiros passos para a elaboração desse conhecimento remontam aos australopitecos e às primeiras manifestações de conhecimento socialmente organizado dos hominídeos.

Há cerca de 3´ 106 já se identificam instrumentos de pedra lascada, na África oriental, e as mudanças fisiológicas e comportamentais resultantes do desenvolvimento dessa tecnologia [1]. As mudanças comportamentais levam a abstrações sobre representações do real, um primeiro passo em direção ao design ao qual se subordina a tecnologia. A capacidade de avaliar e comparar dimensões, necessárias para a feitura de instrumentos que tem o desígnio de descarnar, talvez seja a primeira manifestação matemática dos hominídeos.

A organização do conhecimento assim gerado só pode ser entendida se relacionada com práticas, mitos, artes e religiões.

Sua organização como um fato social depende dos sistemas de propriedade e de produção, e da consolidação de estruturas de poder.

Sua difusão se dá através de escolas e responde a demandas de preparação para o trabalho e para a cidadania.

Ao longo da evolução da humanidade, matemática e tecnologia se desenvolveram em íntima associação, numa relação que poderíamos dizer simbiótica. A seguir vou simplesmente dar exemplos dessa relação, que são muito estudados em outros trabalhos.

Heródoto nos relata a importância do desenvolvimento da matemática nas culturas por ele visitadas, particularmente a egípcia e a babilônica. Todo o desenvolvimento da arquitetura e da urbanização no Império Romano exige uma matemática que, conforme está claro em Vitrúvio, não teria se desenvolvido sem esse objetivo.

A relação da matemática com os projetos de expansão do cristianismo, particularmente a perspectiva e a estática, é notável. E o mesmo com o desenvolvimento do comércio. A resolução de equações é resultado do trabalho de mestres abacistas e de amadores, como Girolamo Cardano, no processo de urbanizaçãona Idade Média. Assim como o desenvolvimento da navegação e as possibilidades de observação trazidas pela nova ótica trouxeram o desenvolvimento de sistemas numéricos e a grande invenção que marcou a Idade Moderna, que foi o Cálculo Diferencial. Durante os séculos XVIII, XIX e XX, a matemática se desenvolveu a partir das possibilidades tecnológicas da industrialização.

O mundo em que vivemos hoje, embora não nos apercebamos disto, depende fundamentalmente da Matemática. Por exemplo, as ondas eletromagnéticas, que são responsáveis pela informação que chega ao nosso televisor, a informação telefônica que via satélite liga pontos distantes do nosso planeta, etc, tiveram a sua existência primeiramente descoberta na Matemática. Após esta descoberta, tentou-se, e com sucesso, descobriu-se a sua existência física.

A computação que revoluciona a vida moderna foi desenvolvida inicialmente (em seus aspectos teóricos) por matemáticos como Von Neuman e A. Turing.

Para se desenvolver um motor, um circuito elétrico ou um "chip" de computador, uma enorme quantidade de cálculos matemáticos e Teorias Matemáticas são necessárias.

A maioria dos aparelhos elétricos que facilitam a nossa vida não existiriam sem o desenvolvimento da Matemática.

As primeiras pistas do aparecemento da matemática

As origens da matemática perdem-se no tempo. Os mais antigos registos matemáticos de que se tem conhecimento datam de 2400 a.C. Progressivamente, o homem foi reflectindo acerca do que se sabia e do que se queria saber. Algumas tribos apenas conheciam o "um", "dois" e "muitos". Os seus problemas do quotidiano, como a contagem e a medida de comprimentos e de áreas, sugeriram a invenção de conceitos cada vez mais perfeitos. Os "Elementos" do grego Euclides (séc. IV a.C.) foram dos primeiros livros de matemática que apresentaram de forma sistemática a construção dos teoremas da geometria e foram utilizados no ensino em todo o mundo até ao século XVII. Mesmo a antiquíssima Astrologia proporcionou o desenvolvimento da matemática, ao exigir a construção de definições e o rigor no cálculo das posições dos astros.
A matemática começou por ser "a ciência que tem por objecto a medida e as propriedades das grandezas" (dicionário), mas actualmente é cada vez mais a ciência do padrão e da estrutura dedutiva. Como afirmou P. Dirac, as matemáticas são a ferramenta especialmente adaptada ao tratamento das noções abstractas de qualquer natureza e, neste domínio, seu poder é ilimitado.
A etnomatemática é um ramo recente da matemática que investiga conhecimentos matemáticos populares ([ 2] p.p. 27-47). E podemos afirmar que todos os povos têm alguns conhecimentos de matemática, mesmo que sejam muito intuitivos tais como medições, proporções, desenhos geométricos que se vêem no artesanato (como a cestaria).
A matemática sempre desempenhou um papel único no desenvolvimento das sociedades (Ap. A). Por exemplo, numa situação de guerra, o exército que possui mais conhecimentos de matemática tem maior poder traduzido nas máquinas mais perfeitas e melhor adaptadas.
Até ao séc. XVI apenas as pessoas com dinheiro ou os sacerdotes poderiam despender tempo no estudo da matemática. De há quatrocentos anos para cá, a monarquia e o clero deixaram de ser os únicos que financiaram a matemática, passando este papel a ser desempenhado pelas universidades e pelas empresas (como por exemplo a IBM). Ao contrário do que muitos pensam, a matemática não consiste apenas em demostrar teoremas ou em fazer contas, ela um autêntico tesouro para a civilização devido aos diversos conhecimentos envolvidos. E sabendo isso, actualmente poucos são os países em que não se cria matemática nova, publicando-se assim em todo o mundo alguns milhares de revistas exclusivamente de matemática.
A matemática é a ciência dos números e dos cálculos. Desde a antiguidade, o homem utiliza a matemática para facilitar a vida e organizar a sociedade. A matemática foi usada pelos egípcios nas construção de pirâmides, diques, canais de irrigação e estudos de astronomia. Os gregos antigos também desenvolveram vários conceitos matemáticos. Atualmente, esta ciência está presente em várias áreas da sociedade como, por exemplo, arquitetura, informática, medicina, física, química etc. Podemos dizer, que em tudo que olhamos existe a matemática.